人生有兩大無奈，曾經(jīng)朝夕相處而今形同陌路，曾經(jīng)刻骨銘心最后忘得一干二凈。如果你此刻說不出函數(shù)的定義，則兩大無奈集于一身，可悲可嘆。無論你背了多少遍、學了多少種函數(shù)，最終還是相忘于江湖。

　　人類的記憶便是如此蒼白，若要長記久牢，還得理解其本質和意義。作者荒誕的人生夢想就是理解世界的本質，而初中數(shù)學中的一些概念，正是理解本質所需的基礎。作者會帶你看抽象畫、看星系碰撞、看人生預測，盡他最大的努力，讓你十年所學不至于成為沒有意義的一段過往。耐心讀下去會漸入佳境，劇情的發(fā)展也會出人意料。

　　從抽象的概念開始講起，因為這是理解函數(shù)的思維基礎。

　　如果一個語詞有其溫度，那么抽象給人的感覺是冰冷的。它常常出現(xiàn)在人跡罕至的地方，比如學術論文的摘要(abstract)，數(shù)學的抽象概念，和看不懂的抽象畫，至少它尚未有機會像“哲學”般脫胎換骨。

　　和日常生活稍微接近一點的就是抽象畫了，但這一通俗說法其實是有誤解的。對藝術史有所了解的人都知道，當代藝術有印象派、野獸派、立體主義、表現(xiàn)主義、超現(xiàn)實主義等等流派，但就是沒有抽象派。為什么?因為抽象畫誰都會啊!不信你畫個太陽試試?難道不是?這樣的?

　　巨象

　　巨像

　　抽象

　　但太陽真的是一個長毛的圈嗎?顯然不是，那你畫的究竟是什么?是你自己也沒有意識到的對三維球體和光線的二維抽象!

　　所以抽象畫，我們從小就會，抽象本身一點也不高冷，我們把復雜的簡化、有共性的打包，這就是抽象，它是我們人類賴以生存的思維方式和高效率的信息傳遞方式。除了繪畫，文字的源起也是從“抽象”的象形字，再到希臘字母α、β、γ，后者不僅僅是文字，更是“代數(shù)”——對數(shù)字的代替和抽象。

　　如果你的娃還沒上初中，你可以通過讓他自己畫畫的方式，理解什么是抽象，這樣他就有了和你不一樣的數(shù)學起點。

　　函數(shù)的“函”字長得很丑，再加上定義：“一般的，在一個變化過程中，有兩個變量x、y，如果給定一個x值，相應的就確定唯一的一個y，那么就稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量，x的取值范圍叫做這個函數(shù)的定義域，相應y的取值范圍叫做函數(shù)的值域”，這么長一串，小學生是會被嚇哭的好嗎?

　　如果你因為曾經(jīng)的心理陰影面積過大而跳過了上面這段定義，不妨看看下面的抽象畫，來理解函數(shù)的定義：

　　函數(shù)盒子

　　函數(shù)就是這么一個神奇的盒子，它的功能(function)是給它一些輸入(input)，它就會給你?唯一?的輸出(output)。就這么簡單!

　　在某些教材中，可能考慮和后續(xù)的一次方程接軌，所以教的函數(shù)表達式是y=2*x+1，而不是更為標準的表達式f(x)=2*x+1，標準表達式用f(x)替換了y，更利于形象的記憶，f就是函數(shù)英文function的首字母，而f就是一個開口的盒子，可以和上圖類比：

　　f(x)=y

　　好了，函數(shù)的定義介紹完畢，現(xiàn)在是提問環(huán)節(jié)!

　　如果你是數(shù)學很好的同學，你可能會問：函數(shù)定義中輸出為何必須是“唯一”呢?為何同一個x不能有兩個y值對應，而一個y可以對應多個x呢?x表示不服。

　　如果你數(shù)學不好，你更有可能會問：函數(shù)的定義能吃嗎?學了小學數(shù)學會買菜算價不就可以了嗎?

　　那些年你錯過的，其實是沒有人來回答你的這些問題，沒有人告訴你這些知識的來龍去脈，它們的應用和意義。函數(shù)是對世界上各種關系的抽象，其最根本的用途是根據(jù)已知量來推測未知量，函數(shù)的意義在于預測(prediction)。

　　比如，你的老朋友小明買一個蘋果2元錢，買兩個蘋果4元錢，那么你要預測他買三個蘋果需要多少錢的時候，就可以建立一個函數(shù)，來對小明買蘋果的個數(shù)和總價之間的關系進行抽象，它的輸入是蘋果的個數(shù)，輸出的是有且僅有一個的總價。

　　如果商家搞促銷，三個蘋果5元錢，那么函數(shù)可能是非線性的;如果商家是個顏控，買家長相越好看，單價越便宜，那么函數(shù)就是多元函數(shù)，輸入是長相和蘋果數(shù)量。無論關系怎么復雜，無論輸入有多少個，輸出都是?唯一?的，因為未來只有一個。

　　預測的主旋律是變化(change)，沒有隨時間的變化就沒有預測可言，這就是函數(shù)的輸入在課本上稱為變量(variable)的原因。

　　接下來作者要帶你走過古人來時的路，看看如何預測行星的運動(motion)，想象著，沒有函數(shù)的日子，古人會是怎樣的寂寞。

　　17世紀英國的一家咖啡館中，三個當世杰出的科學家激烈地探討一個問題，為何行星運動的軌道是橢圓而不是正圓，用什么樣的函數(shù)來預測行星的運動呢?其中一人是后來冠名哈雷彗星的哈雷，他為了這個問題專門拜訪了提出牛頓三定律的牛頓，并資助他出版了揭示其原理的《自然哲學的數(shù)學原理》。按下兩人的友(ji)情故事不表(感興趣的讀者可以看紀錄片《宇宙時空之旅》第三集)，我們來重溫一下他的三大定律，你可以先試試回憶一下第一定律。

　　如果你根本想不起來，或者只記得最簡單的第三定律“作用力和反作用力”，那還是說明一個老問題，你沒有理解它們的本質和意義，你甚至不知道為什么三大定律會這樣排序，第三定律簡潔優(yōu)雅，為何不能排在前面?第三定律不服。

　　任何物體都要保持勻速直線運動或靜止狀態(tài)，直到外力迫使它改變運動狀態(tài)為止?！ｎD第一定律

　　牛頓第一定律之所以是第一定律，因為它回答了力是什么(What?)：“力是物體運動狀態(tài)發(fā)生變化的原因(Forcechangesmotion)”。牛頓第二定律就是描述力是怎樣(How?)改變物體的運動，而第三定律只是補充說明力在何時何處(When&Where?)發(fā)生。

　　第一定律告訴我們，要想知道行星為何會有距離太陽近速度快、距離太陽遠速度慢的運動變化，就需要知道所受到的力——萬有引力。

　　第二定律告訴我們，受萬有引力影響下行星的運動軌跡就是橢圓。

　　第三定律告訴我們，萬有引力是相互作用的，我們是彼此吸引的o(#￣▽￣#)o。

　　定量的預測不是這么說說簡單，需要將這些“自然哲學”通過函數(shù)抽象成“數(shù)學原理”，本節(jié)中出現(xiàn)最多的字眼“變化”，在數(shù)學中是如何表達的呢?

　　變化是相對于時間的變化，時間是time，取首字母t，變化的差異是difference，取首字母d，衡量X在一段時間內的變化情況，可以表達成"dX/dt"，這正是處理變化的數(shù)學工具——微積分(Calculus)。

　　運動(速度)是物體位置的變化v=ds/dt

　　加速度是物體運動(速度)的變化a=dv/dt

　　力是物體運動變化的原因F=m*a=m*dv/dt

　　如果質量(m)和力(F)已知，那么即可根據(jù)函數(shù)關系式，輸入初始時間下的運動狀態(tài)，得到唯一輸出——物體運動的軌道，想知道具體解法得學習微分方程。怎么樣?從初中數(shù)學到高中物理再到大學數(shù)學，了解了它們的來龍去脈及其背后探索宇宙、預測未來的人性訴求，是否多了些學習的動力呢?本文實是一篇給娃啟蒙的好教材呢。

　　有了牛頓三定律和基于函數(shù)的抽象運算，我們甚至可以預測出星系的運動，幾十億年后，我們的銀河系將與仙女座交匯，屆時可以欣賞到幾千顆恒星上演的宇宙星光秀。

　　活久見

　　相對于人類的渺小，從你學的那點初中數(shù)學著手，就能做出如此宏偉的預測，你是不是有點激動呢?

　　本文以無奈開篇，也將以遺憾收尾。

　　遺憾的是，你所預想的美好未來它最終并沒有發(fā)生……即便有朝一日人類可以用函數(shù)來抽象萬物之間的聯(lián)系，我們也無法做出完美的預測。為什么?

　　繼牛頓開創(chuàng)經(jīng)典力學之后，越來越多的物理學家信奉機械決定論——只要建立了運動方程，就可以依據(jù)初始條件來確定隨后的運動。其中最著名的是拉普拉斯的假設：

　　“我們可以把宇宙現(xiàn)在的狀態(tài)視為其過去的果以及未來的因。如果一個智者能知道某一刻所有自然運動的力和所有自然構成的物件的位置，假如他也能夠對這些數(shù)據(jù)進行分析，那宇宙里最大的物體到最小的粒子的運動都會包含在一條簡單公式中。對于這智者來說沒有事物會是含糊的，而未來只會像過去般出現(xiàn)在他面前?！薄绽?/p>

　　后人將假設中的智者，稱為“拉普拉斯妖”，他最超凡的能力，是能同時知道所有物質的位置和運動狀態(tài)，絲毫不差!

　　在這里透露一個小秘密，其實作者本人是妖魔附體，修煉千年之后和拉普拉斯妖在判斷初始狀態(tài)上只有0.00000001的絲毫之差!先別忙著膜拜作者，且看他在預測未來上究竟能有多大本事。

　　如果有一個函數(shù)是可以用來預測一年后的人生，那么18歲的你作為輸入，輸出的是19歲的你，再將19歲的你作為輸入，得到的是20歲的你……這樣的循環(huán)推演在數(shù)學上稱為“迭代”，預測未來就是反復迭代的過程。如果用抽象畫理解，就是再加上一筆：

　　迭代

　　如果預測人生的函數(shù)非常簡單，簡單到初中生可以自己算：f(x)=4x(1-x)，那么在預測未來的本事上，拼的就是對你x歲時的初始狀態(tài)的精準把握上了。

　　作者和拉普拉斯妖的斗法開始了，從你0.1歲開始做未來40年的預測。由于作者能力不濟，捕捉到的是你0.10000001歲時的狀態(tài)。365*24*60*60*0.00000001=0.31536，其影響，相當于你晚出生那么零點幾秒。將x=0.1和x=0.10000001分別作為函數(shù)的輸入，迭代40次，讓我們看看這晚出生零點幾秒能差到哪去?

　　差一點

　　計算很簡單，你可以自己重復這一結果，也可以虐待你的娃用手算去體驗一下人生。

　　很明顯，零點幾秒之差，在20歲之前看不出什么區(qū)別(綠色線與紫色線基本重合)，但20歲之后，可以肯定，這完全是兩種不同的未來了。作者的千年修為也看不穿二十年。

　　所以，遺憾的是沒有人能達到“拉普拉斯妖”那般對初始狀態(tài)的完全掌握(上帝也不行，詳見海森堡測不準原理)，哪怕差個0.00000001，也會在一段時間之后出現(xiàn)完全不一樣的預測結果。這種系統(tǒng)對初始條件的敏感，有一個廣為人知的俗稱——“蝴蝶效應”——“南美洲的蝴蝶扇一下翅膀，就引起了北美洲的一場龍卷風"。

　　作者趁此機會更正大眾對蝴蝶效應的一種誤讀：并不是蝴蝶扇翅膀就能引起龍卷風這種四兩撥千斤的效應。而是用蝴蝶扇翅膀比喻”微小”的初始條件差異，用龍卷風比喻“顯著”的對未來預測的差異，是失之毫厘差之千里的效應。

　　對初始條件敏感的動力系統(tǒng)，就是混沌(Chaos)系統(tǒng)。人生應該是一個混沌系統(tǒng)吧，不然一張車票、一段對話、一時興起，怎么就能有改變命運的能力呢?可能當年你對牛頓三定律少了那么點理解，高考差個0.5分就讀了完全不同的大學呢?作者寫下一篇重溫初中數(shù)學的文章，或許也能影響一些青年讀者產(chǎn)生對數(shù)學和物理的興趣呢?

　　在混沌系統(tǒng)中，看似隨機的(random)事件背后，都有注定的(deterministic)函數(shù)，你能看到此文也許是命中注定，而分享或點贊，也許能改變一場未來。

　　輸入是因，輸出是果，函數(shù)是緣，

　　世界的本質抽象可尋，

　　世界的意義混沌未明。

　　責編/侯小方